ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស/ Sin’s theorem


នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (ឬ​​ច្បាប់ស៊ីនុស ឬ​​រូបមន្តស៊ីនុស) ជា​ទ្រឹស្តីបទ​​សិក្សា​​អំពី​​ត្រីកោណ​នៅ​ក្នុង​ប្លង់។

ទ្រឹស្តីបទ

ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b, c, ក្រលាផ្ទៃ S រង្វង់ចារឹកក្រៅកាំ R និងមុំ A, B, C

គេមាន​ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b និង c និង A, B និង C ជាមុំឈមនៃជ្រុងទាំងនេះ(∠A=A, ∠B=B, ∠C=C) និងR \, ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបាន​​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​​បង្ហាញដូចខាងក្រោម

\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

ទ្រឹស្តីបទ​​នេះ​​ត្រូវ​បាន​គេ​​ប្រើប្រាស់​​ដើម្បី​​គណនា​​ជ្រុង​​នៃ​ត្រីកោណ​ដែលនៅសល់ ប្រសិនបើគេស្គាល់តំលៃនៃមុំ២ និង​ជ្រុង​មួយ។ វា​ក៏​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​បាន​ដែល នៅ​គេ​ស្គាល់​ជ្រុង​ពីរ និង​មុំ​មួយ។

z

ដែល S \, ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ និង p \, ជាកន្លះបរិមាត្រ។

p = \frac{a+b+c} {2}

សំរាយបញ្ជាក់

△ABC កំពស់ h គូសចេញពីកំពូល C

  • សំរាយបញ្ជាក់ \color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នា a, b, c និងមុំ A B C បង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ។ h ជា​កំពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល C មកជ្រុង AB ។ តាម​និយមន័យ​វា​ចែក​ត្រីកោណ ABC ជា​ពីរ​ត្រីកោណកែង​។ គេ​បាន

\sin A = \frac{h}{b}   និង   \sin B = \frac{h}{a}
\Rightarrow h = b\,(\sin A) = a\,(\sin B)
\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \,\,\, (1)

ដូចគ្នា​ដែរ​ចំពោះ​កំពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល A មក​ជ្រុង BC នៃ​ត្រីកោណ គេបាន

 \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \,\,\, (2)

(1) \, និង (2) \, យើង​បាន

\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

  • សំរាយបញ្ជាក់ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} =\color{magenta}2R

គេមានត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R និង BC=a ,\quad \ang A=A

(ក) – ករណី 0 < \ang A < \frac{\pi}{2} (មុំ A ជាមុំស្រួច)

ករណីមុំ A ជាមុំស្រួច

BD ជា​អង្កត់ផ្ចិត​នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ នោះ​ចំនុច D គឺ​ស្ថិត​នៅ​លើ​រង្វង់ ។

នាំអោយ BD = 2R \, (R ជាកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ)

ដោយ​យោង​តាម​ទ្រឹស្តីបទ​មុំចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន

\ang A = \ang D \, (មុំ A ស្មើមុំ D)

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ នោះគេបាន

{\rm BD} = 2R ,\ និង  \ang {\rm BCD} = {\pi \over 2}\

តាង  \ang {\rm BDC} = \ang D = D គេបាន

 \sin D = \frac{BC}{BD} = {a \over 2R} \qquad \Rightarrow \frac{a}{\sin D} = 2R

ដោយមុំ D = A គេបាន  {a \over \sin A} = 2R

តាមរយៈវិធីដូចគ្នាចំពោះផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន

 {b \over \sin B} = 2R
 {c \over \sin C} = 2R

ហេតុនេះ \color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R

(ខ) – ករណី  \ang A = \frac{\pi}{2} (មុំ A ជាមុំកែង)

ករណីមុំ A = ៩០

មុំ A ជាមុំកែង គេបាន BC ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ

BC = 2R = a \,
\Rightarrow \sin A = \sin \frac{\pi}{2} = 1
\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = \frac{2R}{1} = 2R  \qquad \color{blue} (i)

ABC ជាត្រីកោណកែង គេបាន

\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} = \frac{b}{2R} \qquad \frac{b}{\sin B} = 2R \qquad \color{blue} (ii)
\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a} = \frac{c}{2R} \qquad \frac{c}{\sin C} = 2R \qquad \color{blue} (iii)

តាម\color{blue} (i) \quad (ii) និង \color{blue} \quad (iii) យើងបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R
(គ) – ករណី \frac{\pi}{2} < \ang A <\pi      (មុំ A ជាមុំទាល)

ករណីមុំ A ជាមុំទាល

ករណី BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ គេបានចំនុច D ស្ថិតនៅលើរង្វង់។ យោង​តាម​លក្ខណៈ​​រង្វង់ចារឹកក្រៅចតុកោណ (=ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់)​​គេបាន

A + D = \pi \qquad D = \pi  - A \, (ដែល A =\ang A,\quad D =\ang D \, )
\Rightarrow \sin D = \sin (\pi - A) = \sin A

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ

\Rightarrow BD = 2R \,

BCD ជាត្រីកោណកែង​ត្រង់ C គេបាន

\sin A = \sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R} \qquad \Rightarrow \frac{a}{\sin A} = 2R

ធ្វើដូចគ្នាដែរចំពោះមុំផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន

\frac{b}{\sin B} = 2R
\frac{c}{\sin C} = 2R

ហេតុនេះ \color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R

សនិដ្ឋាន: ដូចនេះគេបាន​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស \color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណីទាំងបីខាងលើ។

បំណក​ស្រាយ​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​ដោយប្រើ​ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

\begin{align}a&=BH+HC\\ &=AB\cdot \cos B + AC\cdot \cos C\\ &= {\color{blue}c\cos B + b\cos C} \\ \Rightarrow b&=a\cos C +c \cos A \\ \Rightarrow c&=a\cos B +b \cos A  \end{align}

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

\begin{align}a^{2}&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos{(B+C)} \\ &=b^{2}+c^{2}+2bc\cos{B}\cos{C}-2bc\sin{B}\sin{C} \\ &=(b\cos{C}+c\cos{B})^{2}+(b\sin{C}-c\sin{B})^{2} \\ &=a^{2}+(b\sin{C}-c\sin{B})^{2} \\ & \Rightarrow b\sin{C}-c\sin{B} = 0 \\ & \Longleftrightarrow \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}} \qquad \color{MidnightBlue} (i) \end{align}

ដូចគ្នាដែរចំពោះ

b^{2}=a^{2}+c^{2}+2ac\cos{(A+C)} \Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=\frac{c}{\sin{C}} \qquad \color{MidnightBlue} (ii)
c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos{(A+B)} \Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}} \qquad \color{MidnightBlue} (iii)

ដូចនេះ តាម \color{MidnightBlue} (i), \quad (ii) និង \color{MidnightBlue} (iii) គេបាន

\color{magenta}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

អនុវត្ត

គេមាន​ត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b​, c​ ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ។ ស្រាយបំភ្លឺថាៈ

 a \cos A + b \cos B + c \cos C = \frac{2S} {R}

ដែល  S \, ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

ដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសនៃត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R

zz

យើងបាន:

zzz

\ S ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R \Rightarrow S = \frac{abc} {4R} \Rightarrow abc = 4RS

ជំនួស abc ក្នុង (1) \, យើងបាន

acos A + bcos B + ccos C =  \frac{4RS} {2R^2} = \frac{2S} {R}

ដូចនេះ

acos A + bcos B + ccos C = \frac{2S} {R}

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s