ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន


ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន គឺជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាង​រង្វាស់មេដ្យាន​នៃត្រីកោណ​និង​រង្វាស់ជ្រុងនិមួយៗរបស់វា។ ទ្រឹស្តីបទមេដ្យានជាករណីពិសេសរបស់ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស (Apollonius’ theorem) ។

ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

គេមានត្រីកោណ ABC ដែល AI ជារង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A ។ គេបានទំនាក់ដូចខាងក្រោម:

AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,
AB^2 + AC^2 = {1 \over 2} BC^2 + 2AI^2\,

បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ

លក្ខណៈនេះជាករណីធម្មតាដោយការកាត់បន្ថយនៃអនុគមន៍ស្តាលែរលេបនីស្ស (scalar function of Leibniz)​:

AB^2 + AC^2 =(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB})^2 + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC})^2

គេពន្លាត:

AB^2+ AC^2 = AI^2 + IB^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB} + AI^2 + IC^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IC}

ចំនុច I ជាចំនុចកណ្តាល [BC] ដូចនេះ \overrightarrow{IB} និង \overrightarrow{IC} មានទិសដៅផ្ទុយគ្នា និងIC^2 = IB^2 ដូច្នេះ

AB^2+ AC^2 = 2AI^2 + 2IB^2 \,

បំណកស្រាយម្យ៉ាងទៀត

តាង H ជាចំណោលនៃកំពស់ត្រីកោណពីកំពូល A មកលើជ្រុង BC ចែកត្រីកោណ ABC ជាពីរត្រីកោណកែង BHA និង AHC ។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករ គេបាន

AB^2 = BH^2 + AH^2 \,
AC^2 = AH^2 + HC^2\,
AI^2 = IH^2 + AH^2\,

ហេតុនេះ

AB^2 + AC^2 = BH^2 + 2AH^2 + HC^2\,

ដោយសំដែង BH និង HC ជាអនុគមន៍នៃ BI និង IH (ដែល I ជាចំនុចគណ្តាលនៃ BC និង BI=IC) ។ កត់សំគាល់ផងដែរចំពោះ​ករណីពិសេស ជើង H នៃកំពស់គូសចេញពីកំពូល A មកលើអង្កត់ [BI] នៅចន្លោះ B និង I ប៉ុន្តែវាផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណី

BH = BI - IH \,
HC = IC + IH = BI + IH\,

ជំនួសចូលក្នុងកន្សោមខាងលើ គេបាន

AB^2 + AC^2 = (BI-IH)^2 + 2AH^2 + (BI+IH)^2 \,
AB^2 + AC^2 = BI^2 - 2BI.IH+ IH^2 + 2AH^2 + BI^2 + 2BI.IH + IH^2\,
AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2IH^2 + 2AH^2 = 2BI^2 + 2(IH^2 + AH^2) \,

ឬគេអាចថា

IH^2 + AH^2 = AI^2\,

ដោយជំនួសវាចូលក្នុងសមីការខាងលើគេបាន

AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,

ទ្រឹស្តីបទទី៣នៃមេដ្យាន

ជាមួយនឹងផលគុណស្កាលែរ: AB^2 - AC^2 = 2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IH} ដែល H គឺជាចំណោលកែងនៃ A លើ (BC) ។

ដែលទំនាក់ទំនង \left| AB^2 - AC^2 \right| = 2 BC \times IH (ទ្រឹស្តីបទទី៣នៃមេដ្យាន)។

តាមពិត: AB^2 - AC^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AI}.(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) = 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{CB}

ចំណោលនៃ \overrightarrow{AI} លើ \overrightarrow{BC} គឺ \overrightarrow{HI} ដែល \overrightarrow{AI}\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{HI}.\overrightarrow{CB}  = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IH}

ផលគុណស្កាលែរនៃពីរវ៉ិចទ័រស្របគ្នាគឺស្មើនឹង BC \times IH ដែលមានទិសដៅផ្ទុយគ្នា។

ទំរង់វ៉ិចទ័រនៃទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

បើ I ជាចំនុចកណ្តាល [BC] គេបាន : \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}

លក្ខណៈទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

គេមានត្រីកោណ MBC ។ គេគូសបន្ទាត់មួយចេញពី M កាត់ជ្រុង [BC] ត្រង់ I ។ តាង k = \frac {IC}{IB} គេបាន

MI^2=\frac{kMB^2+MC^2}{1+k} - (IB.IC)

Frome វីគីភីឌា

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s