វិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណ


ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់២

a_2(z)f''(z)+a_1(z)f'(z)+a_0(z)f(z)=0\;\!

ឧបមាថា a2 មិនសូន្យគ្រប់ z ។ នោះយើងអាចចែកវាហើយទទួលបាន

f''+{a_1(z)\over a_2(z)}f'+{a_0(z)\over a_2(z)}f=0

ហើយឧបមាទៀតថា a1/a2 និង a0/a2 គឺជាអនុគមន៍អាណាលីទីក(analytic function អនុគមន៍ទាល់) ។

វិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណទទួលបានទំរង់នៃចំលើយនៃស៊េរីស្វ័យគុណ

f=\sum_{k=0}^\infty A_kz^k

បើ a2 ស្មើសូន្យ ចំពោះ zខ្លះ នោះវិធីសាស្រ្តហ្រ្វូបេនៀស ដែលជាវិធីសាស្រ្តផ្នែកមួយនៃវិធីសាស្រ្តនេះ គឺត្រូវនឹងចំនុចទោល ។

ឧទាហរណ៍

យើងក្រលេកមើល សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអឺមីត(Hermite differential equation)

f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda=1

យើងអាចបង្កើតចំលើយរបស់ស៊េរី

f=\sum_{k=0}^\infty A_kz^k
f'=\sum_{k=0}^\infty kA_kz^{k-1}
f''=\sum_{k=0}^\infty k(k-1)A_kz^{k-2}

ជំនួសវាចូលទៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

\sum_{k=0}^\infty k(k-1)A_kz^{k-2}-2z\sum_{k=0}^\infty kA_kz^{k-1}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k=0
=\sum_{k=0}^\infty k(k-1)A_kz^{k-2}-\sum_{k=0}^\infty 2kA_kz^k+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k

សំរួលការបូកចំពោះតួដំបូង

=\sum_{k+2=0}^\infty (k+2)((k+2)-1)A_{k+2}z^{(k+2)-2}-\sum_{k=0}^\infty 2kA_kz^k+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k
=\sum_{k=-2}^\infty (k+2)(k+1)A_{k+2}z^k-\sum_{k=0}^\infty 2kA_kz^k+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k
=(0)(-1)A_{0}z^{-2} + (-1)(0)A_{1}z^{-1}+\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)A_{k+2}z^k-\sum_{k=0}^\infty 2kA_kz^k+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k
=\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)A_{k+2}z^k-\sum_{k=0}^\infty 2kA_kz^k+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k
=\sum_{k=0}^\infty \left((k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_k\right)z^k

ឥឡូវ បើស៊េរីនេះជាចំលើយ មេគុណទាំងអស់ត្រូវតែស្មើសូន្យ ដូចនេះ

(k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_k=0\;\!

យើងអាចរៀបវាឡើងវិញ ដើម្បីទទួលបានទំនាក់ទំនងចំពោះ​ Ak+2

(k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_k\;\!
A_{k+2}={(2k-1)\over (k+2)(k+1)}A_k\;\!

ឥឡូវយើងបាន

A_2 = {-1 \over (2)(1)}A_0={-1\over 2}A_0,\, A_3 = {1 \over (3)(2)} A_1={1\over 6}A_1

យើងអាចកំនត់ A0 និង A1 បើវាមានលក្ខខណ្ឌដើម ឧទាហរណ៍ បើយើងមានសំនួរដែលមានតំលៃដើម ។

ដូចនេះ យើងបាន

A_4={1\over 4}A_2  = \left({1\over 4}\right)\left({-1 \over 2}\right)A_0 = {-1 \over 8}A_0
A_5={1\over 4}A_3  = \left({1\over 4}\right)\left({1 \over 6}\right)A_1 = {1 \over 24}A_1
A_6={7\over 30}A_4 = \left({7\over 30}\right)\left({-1 \over 8}\right)A_0 = {-7 \over 240}A_0
A_7={3\over 14}A_5 = \left({3\over 14}\right)\left({1 \over 24}\right)A_1 = {1 \over 112}A_1

ហើយចំលើយរបស់ស៊េរីគឺ

f=A_0x^0+A_1x^1+A_2x^2+A_3x^3+A_4x^4+A_5x^5+A_6x^6+A_7x^7+\cdots
=A_0x^0+A_1x^1+{-1\over 2}A_0x^2+{1\over 6}A_1x^3+{-1 \over 8}A_0x^4+{1 \over 24}A_1x^5+{-7 \over 240}A_0x^6+{1 \over 112}A_1x^7+\cdots
=A_0x^0+{-1\over 2}A_0x^2+{-1 \over 8}A_0x^4+{-7 \over 240}A_0x^6+A_1x+{1\over 6}A_1x^3+{1 \over 24}A_1x^5+{1 \over 112}A_1x^7+\cdots

ដែលយើងអាចបំបែកវាទៅជាផលបូកនៃចំលើយរបស់ស៊េរីឯករាជ្យលីនេអែពីរ

f=A_0(1+{-1\over 2}x^2+{-1 \over 8}x^4+{-7 \over 240}x^6+\cdots)+A_1(x+{1\over 6}x^3+{1 \over 24}x^5+{1 \over 112}x^7+\cdots)

ដែលអាចសំរួលដោយការប្រើនៃស៊េរីស្វ័គុណដែលមានប្រភាគនៃមេគុណបន្តលំដាប់(hypergeometric series) ។

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s